By NATALIE ANGIER

There are two distinct number systems in play in the human mind.
Whenever we choose a shorter grocery line over a longer one, or a bustling restaurant over an unpopular one, we rally our approximate number system, an ancient and intuitive sense that we are born with and that we share with many other animals. Rats, pigeons, monkeys, babies - all can tell more from fewer, abundant from stingy.
An approximate number sense is essential to brute survival: how else can a bird find the best patch of berries, or two baboons know better than to pick a fight with a gang of six?
When it comes to genuine computation, however, to seeing a number like 529 and dividing it into 2,200, that calls for a very different number system, one that is specific, symbolic and highly abstract.
By all evidence, scientists say, the capacity to do mathematics is a uniquely human and very recent skill. People have been at it only for the last few millennia, it’s not universal to all cultures, and it takes years of education to master. Math-making seems the opposite of automatic, which is why scientists long thought it had nothing to do with our ancient, pre-verbal approximating ways.
Yet a host of new studies suggests that the two number systems, the bestial and celestial, may be profoundly related, an insight with potentially broad implications for math education.
One research team has found that how readily people rally their approximate number sense is linked over time to success in even the most advanced and abstruse mathematics courses. Other scientists have shown that preschool children are remarkably good at approximating the impact of adding to or subtracting from large groups of items but are poor at translating the approximate into the specific.
Taken together, the new research suggests that math teachers might do well to emphasize the power of the approximate figure, to focus less on arithmetic precision and more on general reckoning.
“When mathematicians and physicists are left alone in a room, one of the games they’ll play is called a Fermi problem, in which they try to figure out the approximate answer to an arbitrary problem,” said Rebecca Saxe, a cognitive neuroscientist at the Massachusetts Institute of Technology . “They’ll ask, how many piano tuners are there in Chicago, or what contribution to the ocean’s temperature do fish make, and they’ll try to come up with a plausible answer.”
“What this suggests to me,” she added, “is that the people whom we think of as being the most involved in the symbolic part of math intuitively know that they have to practice those other, nonsymbolic, approximating skills.”
In September in the journal Nature, Justin Halberda and Lisa Feigenson of Johns Hopkins University and Michele Mazzocco of the Kennedy Krieger Institute in Baltimore described their study of 64 14-year-olds who were tested at length on the discriminating power of their approximate number sense. The teenagers sat at a computer as a series of slides with varying numbers of yellow and blue dots flashed on a screen for 200 milliseconds each - barely as long as an eye blink. After each slide, the students pressed a button indicating whether they thought there had been more yellow dots or blue.
Given the antiquity and ubiquity of the nonverbal number sense, the researchers were impressed by how widely it varied in acuity. There were kids with fine powers of discrimination, able to distinguish ratios on the order of 9 blue dots for every 10 yellows, Dr.
Feigenson said. “Others performed at a level comparable to a 9-month-old,” barely able to tell if five yellows outnumbered three blues. Comparing the acuity scores with other test results that Dr. Mazzocco had collected from the students over the past 10 years, the researchers found a robust correlation between dot-spotting prowess at age 14 and strong performance on a raft of standardized math tests from kindergarten onward.
“We can’t draw causal arrows one way or another,” Dr. Feigenson said, “but your evolutionarily endowed sense of approximation is related to how good you are at formal math.”
Dr. Halberda, who happens to be Dr. Feigenson’s spouse, relishes the work’s philosophical implications. “What’s interesting and surprising in our results is that the same system we spend years trying to acquire in school, and that we use to send a man to the moon, and that has inspired the likes of Plato, Einstein and Stephen Hawking, has something in common with what a rat is doing when it’s out hunting for food,” he said. “I find that deeply moving.”

계산 뒤에 있는 수학의 기초 본능

인간의 마음에서는 두 가지 별개의 수체계가 작용한다.

식품점에서 더 긴 줄보다 짧은 줄을 선택하거나 인기 없는 식당보다 붐비는 식당을 선택할 때마다 우리는 근접 수체계를 활용하는데 다른 많은 동물들과 마찬가지로 타고난 태고의 직감이다. 쥐, 비둘기, 원숭이, 아기 등이 모두 많음과 적음, 풍부함과 부족함을 구별할 수 있다. 근삿값 감각은 적나라한 생존에 필수적이다. 그렇지 않으면 새가 어떻게 가장 많은 베리를 찾을 것이며 비비 2마리가 6마리 무리에 싸움을 걸지 말아야 한다고 알 것인가?

그러나 진정한 계산에 있어서는, 529와 같은 숫자를 보고서 2,200으로 나눗셈을 할 때에는

구체적이고 상징적이며 몹시 추상적인, 매우 다른 수체계가 필요하다.

모든 증거에 따르면, 수학을 하는 능력이 인간의 고유 기술로 매우 근래 습득됐다고 과학자들은 말한다. 사람들이 지난 수천년 들어서만 열중했으며 모든 문화에 보편적이지 않고 숙달하는데 수년의 교육이 필요하다. ‘수학하기’는 자동적의 반대라 볼 수 있는데 고대의 언어 이전 개산 방식과 상관이 없다고 과학자들이 오랫동안 여겨온 이유이기도 하다.

그러나 다수의 새로운 연구조사들은 두 가지 수체계, 짐승적인 것과 천상적인 것이 심오한 관계가 있음을 시사하는데 수학 교육에 폭넓은 영향을 미칠 가능성이 있는 식견이다.

한 연구팀은 근삿값 감각을 얼마나 쉽게 동원할 수 있는지 여부가 시간이 지나면서 가장 난해한 고등 수학과목에서의 성공과도 연관이 있다는 것을 발견했다. 다른 과학자들은 프리스쿨 어린이들이 많은 물건들에서 덧셈과 뺄셈의 영향을 어림잡는 것은 두드러지게 잘했으나 대략을 특정으로 옮기는 것은 서투르다고 보여줬다.

합쳐서 보면, 새 연구는 수학 교사들이 근삿값의 위력을 강조하고 산수적 정확도보다 일반적 계산에 더 집중하는 것이 낫다고 시사한다.

“수학자들과 물리학자들이 방에 혼자 있으면 즐기는 게임 중 하나가 페르미 문제인데 임의의 문제에 대해 대략적 해답을 개산하려고 시도하는 것입니다”라고 매서추세츠 공과대학(MIT)의 인식 신경과학자 레베카 색스가 말했다. “그들은 시카고에 피아노 조율사가 몇 명이나 되는지, 또는 물고기가 해수 온도에 얼마큼 기여하는지 등을 묻고 그럴듯한 답을 내놓으려고 합니다.”

“이 점이 시사하는 것은 수학의 상징적 부분에 가장 깊이 관여한다고 여겨지는 사람들이 다른 비상징적 개산 기술을 연습해야 한다고 직관적으로 안다는 것입니다.”

존스 홉킨스 대학의 저스틴 핼버다와 리자 페이겐슨과 볼티모어에 있는 케네디 크리거 연구소의 미셸 마조코는 6~14세의 근삿값 식별력을 상세하게 조사한 연구를 9월에 학술지 ‘네이처’에서 묘사했다. 청소년들이 컴퓨터 앞에 앉아있을 때 다양한 숫자의 노란색과 푸른색 점이 찍힌 일련의 슬라이드가 스크린에 200밀리세컨드(간신히 눈을 깜빡일 만큼) 동안 번쩍거리게 했다. 각 슬라이드 끝에 학생들은 노란색, 아니면 푸른색 점이 더 많다고 생각했는지 가리키는 단추를 눌렀다.

비언어적 숫자 감각이 태고부터 도처에 편재한 사실을 고려할 때 연구원들은 예리한 정도에 얼마나 차이가 큰지 인상을 받았다. 노란 점 10개 당 푸른 점 9개 정도의 비율을 분간할 수 있는 예민한 분별력을 지난 아이들도 있었다고 페이겐슨 박사는 말했다. 다른 이들은 노란 점 5개가 푸른 것 3개보다 더 많은지 거의 구분할 수 없을 정도로 “9개월 아이에 비슷한 실력”이었다. 마조코 박사가 지난 10년에 걸쳐 학생들로부터 수집한 다른 시험 결과와 예민성 점수를 비교함으로써 연구원들은 14세 때의 점 찾기 능력과 유치원 이후로 치른 허다한 수학 표준시험의 높은 성적 사이에 강한 상관관계를 발견했다.

“어떻게든 인과 관계를 나타내는 화살표를 그릴 수는 없지만 유전적으로 물려받은 계산 감각은 정식 수학을 얼마나 잘 하느냐와 관계가 있습니다”라고 페이겐슨 박사는 말했다.

페이겐슨 박사의 배우자이기도 한 핼버다 박사는 이번 연구의 철학적 의미를 음미한다. “우리 결과에서 흥미롭고 놀라운 점은 학교에서 습득하려고 수년을 보낸 것과 같은 체계, 달에 사람을 보내는데 사용하고 플라톤, 아인슈타인, 스티븐 호킹과 같은 인물들에 영감을 준 체계가 쥐가 음식을 사냥하러 나와서 하는 것과 공통점이 있다는 것입니다”라고 말했다. “저에겐 그게 깊이 감동적입니다.”

<나탈리 앤지어 기자>

<어휘 해설>
▲instinct - 본능, 타고난 재능, 직관, 직감
▲approximate - 가까운, 대략의, 근접한
▲verbal - 말의, 언어의, 구두의, 축어적인
▲plausible - 그럴듯한, 타당한, 정말 같은
▲antiquity - 낡음, 고색, 태고, 고대
▲ubiquity - 도처에 있음, 편재성
▲acuity - 날카로움, 예민함, 격심함
▲discriminate - 구별하다, 식별하다, 차별 대우하다, 판단력을 발휘하다
▲distinguish - 구별하다, 구분하다, 특징 지우다, 두드러지게 하다
▲correlation - 상호 관련, 상관 (관계), 상호작용