여성은 언제까지 남자의 프로포즈를 튕길 수 있을까?

확률에 관한 짧은 지식으로 여성의 튕김의 끝은 어디인지 밝혀본다.

상황 설정은 이러하다.

한 여성에게 100명의 남자가 순차적으로 프로포즈 한다고 하자.
100명 중 백마탄 왕자는 한명 뿐이고, 여성는 그 남자를 찾고 싶어한다.

물론 그가 첫번째로 프로포즈할지 100번째로 프로포즈를 해 올지는 알 수 없을것이다. 여자가 100명의 남자 중 제일 멋진 남자를 고른다는 건 너무 불공평 하니까 한번 프로포즈한 남자를 튕기면 다시는 그 남자는 선택할 수 없다고 하자.

즉 만약 더 나은 남자가 있을 거라는 기대감에 99명의 남자를 차례로 튕겨버렸다면 100번째 프로포즈하는 남자와 결혼하는 수 밖에 없다.
물론 첫번째 남자의 프로포즈를 받아드리면 99명의 남자가 어떤 남자인지보지도 못한다. 그러면 여자에게는 전략이 필요하다.

<몇명까지는 일단 튕겨보고 그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하자.>

여자에게 몇명까지 튕겨보는게 가장 합리적인 전략이 될까?

조건부 확률을 생각해 볼 수 있다.

B : 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률.
A1 : 백마탄 왕자가 첫번째로 프로포즈해올 확률.
A2 : 백마탄 왕자가 두번째로 프로포즈해올 확률.
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A100 : 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈해올 확률.

그러면 여자가 백마탄 왕자를 정확하게 선택할 확률은 다음과 같이 표현된다.

P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + ... +P(A100)P(B/A100) ----(1)

이제 우리의 여성이 r명까지는 일단 튕겨보고
그 다음부터 만나는 남자 중 제일 멋진 남자와 결혼하기로 했다고 하자.

그러면 P(B/A1)=0, P(B/A2)=0, ..... , P(B/Ar)=0 이다.
(당연히...최초r명 안에 백마탄 왕자가 있었다면, r명까지는 튕기기로 한
여자의 작전은 완전...실패당.)

P(B/A(r+1))=1=r/r

(당연히 r+1번째로 백마탄 왕자가 프로포즈 해 왔다면, r명까지 튕긴 여자는 이전에 본 r명보다 더 멋진 남자를 바로 만나버린 거니까 백마탄 왕자 픽업할 확률은 100%)

P(B/A(r+2))=r/(r+1)
P(B/A(r+3))=r/(r+2)
...
P(B/A(99))=r/99
P(B/A(100))=r/100

r+2번째에 백마탄 왕자가 있는데 r+1번째 프로포즈 한 남자가 이전에 튕긴 r명보다 나은 남자였다면, 여자는 최초 세운 전략상 그냥 r+1번째 남자의 프로포즈를 받아들이게되고 그러면 r+2번째 남자는 보지도 못하니까, 여자의 입장에서는 또 전략상 실패다.

따라서 r+2번째 남자(백마탄 왕자)의 프로포즈를 받기 위해서는 r+1번째 남자가 나은 남자여서는 안될 것이다. 다시 말해 백마탄 왕자보다 앞서서 프로포즈 하는 남자중 가장 괜찮은 남자가 r번째 이전(r번째 포함)에 여자에게 프로포즈를 하면 된다. r+1번째에만 있지 않으면 된다.

1,2,3,...,r,r+1번째 중 r+1번째만 아니면 되니까 확률은 r/(r+1)이다.

같은 방식으로 백마탄 왕자가 r+3번째로 프로포즈를 한다면 r+1번째 r+2번째에 여자가 프로포즈를 받아들여버리면 안된다. 그러려면 백마탄 왕자 이전의 남자들 중 가장 멋진 남자가 r번재 이전(r번째 포함)에 있으면 된다.

그러면 r+1번째, r+2번째 남자가 r번째까지의 남자보다 멋질 수 없으므로 여성은 r+3번째 남자가 어떤 남자인지 살필 기회를 갖게 된다.

확률은 r/(r+2)

이런 식으로 동일 한 풀이 과정을 거치면 백마탄 왕자가 백번째로 프로포즈 해올 때 여자가 백번까지 기다려서 그 왕자를 선택할 확률은 r/100 .
이 결과를 (1)식에 대입하면

100 1 r
sigma --- * ---
x=r 100 x

이것이다! 드디어 r에 관한 함수가 나왔다.

항수가 많으니까 그냥 연속적으로 생각해서 적분을 하자.

1 r
integral r->100 --- * --- dx
100 x


r 100
= --- [lnx]
100 r

어차피 우리는 위의 값을 최대로 만드는 r값을 찾는거니까,
그리고 상수항과 계수는 신경 안써도 되니까

d
--[ r{ln100} - r {ln r } ]= 0 을 만드는 r을 찾자.
dr


(답)
r = 37

답이 나왔다. 37명이다.

보통 한 여자에게 프로포즈하는 남자의 숫자가 10명이라고 하면, 여자는 최초 3명까지는 튕겨볼 수 있어도 4명부터는 튕겨서는 안된다는
계산이 나온다. 그냥 괜찮다 싶으면 잡아야 된다는 것이다.

솔직히 10명도 많다.
보통 여성에게 프로포즈 하는 남자가 5명쯤 된다면 최초 한명 쯤은 공주병 환자처럼 튕겨볼 수 있으나 두번째 남자가 프로포즈해올 경우...
첫번째 남자보다 낫기만 하다면 프로포즈를 받아들여야 한다는 것이다.

그만 튕기고... ^^

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아~ 머리 아퍼서 못튕기겠다. ㅡ.ㅡ

답글:

◇『훌륭한사』 그래두..여자는 튕겨야 매력이라구 그랬눈디요--; 그리구..재섭게 옥동자 같은 사람만 나한테 프로포즈 한다면 그중에 골라야 하나~? 히히히

◇『병아리』 마쟈 머이리팅기냔 말야 ㅠ.ㅠ

◇『음...』 난 그럼 첫번째 남자였나?

◇『솔현』 대단하군요. 정확한 계산이십니다. 마쟈 팅기좀 말아요 힘들단마랴~

◇『지구인』 100명이 프로포즈 할리가...;;

◇『강호동』아 그럼 나는 100번이 넘어서도 안되는 이유가 뭔데?

◇『지구인』여자의 마음은 수학적으로 아무리 분석해도 답이 안나온다는 사실을 모르시나?

◇『심청왕따』난 1번째부터 좋다고 했는데.....그냥 가더구만 ㅠㅠ

◇『별사탕』난 한 36번째 였나보당...

◇『화성남자』젠장...제가 몇 번째 인가요 하고 물어볼 수 도 없고....
확실한 방법이 없나?

◇『약병아리』 튕길때 튕기씨오 여이네들이여...주제를 알아야지 요즘 세상에

◇『카싸노봐』 여자가 튕기는 것은 자신감이 있기 때문인데 그 자신감을 능가하는 자세로 대쉬하면 넘어온당

◇『난넘』 이거 풀 시간에 한명 더 꼬시겠다...

◇『엑쓰걸』 난 안튕겨요.....여러~부운! 꼭 꼬셔 주세요~오!

◇『엑쓰남』 (’’ 그러니까 혼자지.....