수학 (IV)

"우리아이는 학교에서 따로 수학 공부를 시킬 정도로 수학을 아주 잘 합니다. 계산만이 아니고 응용문제도 정말 잘하고 또 자기도 수학을 무척 좋아합니다. 그런데 이상하게도 저학년 때부터 완전히 100점을 맞아오지는 못합니다. 성격이 그리 덤벙거리지도 않거든요. 그것보다도 걱정이 되는 것은 요즘 수학을 많이 틀려오는 것을 보면 몰라서나 응용문제를 파악하지 못하는 것도 아닌데 더하기(+) 할 때를 빼기(-)를 한다든지… 자기 말로도 ‘바보 같은 행동’(stupid mistakes)이라고 인정을 하기는 합니다. 어려운 것은 오히려 다 맞아옵니다. 고학년으로 올라갈수록 이런 것이 더 심해져 가는데, 어떻게 도와 줄 길이 없을까요?"
-7학년 영진이 어머니

■해결책: 위의 예는 고학년이 되면서 수학 문제를 잘 이해하지 못하는 데서 오는 현상이다. 이런 문제를 해결할 수 있는 학습법을 소개하려고 한다, 즉 SQRQCQ 방법이다. 이 방법은 계산 능력과 관련된 것은 제외하고, 응용문제에만 적용된다. 이 방법을 이용하려면 두 가지 준비과정이 있다.

I. 준비과정
A. 클로즈 리딩(close reading)
B. 지시사항을 따를 줄 알아야 한다(following direction). (자세한 것은 지난주의 기사를 참고 바람)
영진이의 경우 이 두 준비과정만 2개월이 걸렸다. 그 다음 단계로 SQRQCQ라는 수학 부 방법을 소개했다. 이 방법도 읽기 수준이 자기 학년에 와 있어야 가능하다.

수학은 주로 두 분야로 나누어져 있다. 개념과 방법이다. 수학의 개념은 ‘정연한 논리’로 서술되어 있다. 그러니 개념파악은 논리파악이다. 수학의 응용문제는 논리로 쓰여져 있고 특별한 분야이기 때문에 공부하는 방법도 특별하다. 이 공부 방법이 바로 SQRQCQ다. 이 방법은 수학의 계산 능력이 아니고 주로 응용문제 해결(논리 푸는 일)에 적용된다(Roy, 1998).

II. 수학 학습법-SQRQCQ(Survey, Question, Review, Question, Compute, Question)
문제개요 파악-첫 질문-다시 읽기-두 번째 질문-계산-최종 질문
A. 문제개요 파악(Survey)
응용문제의 감을 대강 잡기 위하여 빨리 한번 읽어본다. 그러나 아무렇게나 읽는 것이 아니고 무엇이 요구되며, 그 요구되는 사항이 몇이나 되는지 파악해야 한다.


B. 첫 질문(Question)
문제 자체를 이해했는지 자문하는 단계다. 이 자문에 충분히 대답을 못하면 문제를 정확히 파악했다고 볼 수 없다.
예: ‘42/84=1/2’를 계산하기는 쉬운데, 그 개념파악이 어렵다. 그 개념파악의 과정으로 벤 다이아그램(Venn diagram)을 쓴다. 이 개념을 자세히 거치면 답이 1/2가 된다. 이 마지막 벤 다이아그램에서 가운데 있는 숫자를 보고 그 관계와의 연결을 공부하게 한다. 여기서의 공통요소는 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42였다. 즉 최대공약수는 42이다. 우선 이 관계와 연결을 이해하면, 개념파악이 뚜렷하다.


C. 문제 다시 읽기(Review)
이것을 또 한번 읽을 때 학생이 필요로 하는 과정을 다시 정리하게 한다. 이때 가끔 그래픽 구성(graphic organizer)에서 순서적(sequence)으로 놓은 방법을 써서 여러 가지를 순서적으로 일일이 정리한다.


D. 두 번째 질문(Question)
두 번째 질문의 주목적은 어떤 방법으로 풀까?를 결정하게 된다. 즉, 어떤 수학 순서를 밟아야 할지, 적절한 풀이방법을 찾기 위한 순서이다. 이번은 고등학교 수준의 예이다. 100명의 학생이 캠핑을 갔다. 아침 식사 때 86명이 계란을 먹었고, 75명이 베이컨을 먹었다. 62명은 토스트를 먹었고, 82명이 우유를 마셨다. 그 중 몇 명이 계란, 베이컨, 토스트, 우유 네 가지를 다 아침 식사로 먹었나?(학생들이 모두 세 가지 이상은 먹었다.)

이 과정에서 위에서 말한 연결과 관계를 잘 아는 학생은 즉시 우선 계란, 베이컨, 토스트를 안 먹은 학생을 계산해 봐야겠다는 생각부터 든다. 이런 질문을 자기 자신에게 잘 하는 학생일수록 개념파악이 잘 되는 학생이다. 수학을 싫어하는 학생의 특징이 이 두 번째 하는 질문과정을 못한다. 필자가 독서 지도를 할 때, 이 두 번째 질문을 할 때가 되면, 으레 몇 명의 학생은 ‘그러면, 더하기인지, 곱하기인지만 가르쳐 주시면 나머지는 제가 알아서 할게요’라고 한다. 그런 학생을 다시 검토하여 보면, 첫 번째의 개념 파악하기가 미급하였고, 어느 정도 됐더라도 문자 그대로 ‘그냥 스쳐만’간 것으로, 첫 질문조차도 이해했는지 의문이다. 또 했더라도 질문을 한번 정도밖에는 하지 않았다. 그보다 더 큰 문제는 세 번째 읽는데 가장 중요한 문제가 있다. 다시 말하자면, 집을 지을 때, 기초나 기둥이 없이, 지붕을 올릴 수가 없다. 이때 겨우 임시변통으로 지붕이 올라갔더라도 튼튼한 집은 아니다. 그러니 다음 비슷한 수학 문제가 나오면, 그것을 해결하지 못 한다. 그렇게 때문에 준비가 안된 상태로 다음으로 넘어가지 말기를 바란다.

예로, 10-2=8의 개념이 없는 1학년 학생에게 이 것이 틀렸는지 맞았는지 알고 싶으면, ‘8+2를 해서 10이 되면 맞을 거야’라고 가르치면, 이 것은 개념파악으로 배운 것이 아니므로 암기만 한 것으로 왜 10-3=7인지 알 수 없다.


E. 계산(Compute)
기본이 굳고, 개념파악이 충분할 때 계산조율(calculating operation)을 한다. 즉, 계산은 개념파악이 아닌, 공식화되어 있는 방법(방정식 푸는 방법)이다.


F. 세 번째 질문(Question)
이 것은 문제의 답의 점검이다. 여기에는 두 가지 점검이 있다.
첫째 점검은 계산 조율의 정당성이고, 둘째는 다시 처음으로 돌아가서 문제가 요구하는 것이 무엇이냐를 다시 확인하고 그 답이 이 문제와 공통되었는지를 점검하여야 된다.

계산 조율의 정당성은 위의 예에서 ‘10-2=8이라면 (10-2)+2=(8)+2’가 ‘10=8+2’가 된다고 확증하면 계산 자체는 맞다고 볼 수 있다.
그러나 문제 개념파악으로 엉뚱한 대답이 나올 경우 이 수학 결론은 타당하다고 볼 수 없게 된다.
(추천독서 목록과 학습방법(Close reading도 포함 됨)이 자녀의 독서수준별로 된 것이 있습니다.)
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